Di
abad ke-19, ada sejumlah upaya untuk memutakhirkan logika (George Boyle, Ernst
Schröder, Gotlob Frege, Bertrand Russell dan A. N. Whitehead). Tapi, selain memperkenalkan
simbol-simbol, dan beberapa penataan di sana-sini, tidak terdapat perubahan
yang mendasar di sini. Banyak klaim besar yang dibuat, contohnya oleh para
filsuf linguistik, tapi tidak terdapat banyak basis untuk mereka. Semantik
(yang berurusan dengan kesahihan sebuah argumen) dipisahkan dari sintaksis
(yang berurusan dengan apakah sebuah kesimpulan dapat ditarik dari aksiom dan
premis tertentu). Ini dianggap sebagai sesuatu yang baru, padahal hanya
merupakan pernyataan ulang dari pembagian kuno, yang telah akrab bagi
orang-orang Yunani Kuno, antara logika dan retorika. Logika modern didasarkan
pada hubungan logis di antara seluruh kalimat.
Pusat perhatiannya telah bergeser dari silogisme
menuju argumen-argumen yang hipotetikal dan disjungtif. Ini bukanlah satu
lompatan yang dapat membuat orang yang melihat menahan nafas. Kita dapat mulai
dengan kalimat (penilaian) bukannya silogisme. Hegel melakukan ini dalam Logic.
Bukannya sebuah revolusi besar dalam pemikiran, ia malah lebih mirip mengocok
ulang satu tumpukan kartu yang telah kusut karena dipakai berkali-kali.
Dengan menggunakan analogi fisika yang superfisial dan tidak tepat, apa yang
disebut "metode atomik" yang dikembangkan oleh Russell dan
Wittgenstein (dan yang kemudian disangkal sendiri oleh orang yang disebut
terakhir itu) mencoba membagi bahasa menjadi "atom-atomnya". Atom
dasar dari bahasa menurutnya adalah kalimat sederhana, yang merupakan penyusun
dari kalimat-kalimat kompleks. Wittgenstein bermimpi mengembangkan satu
"bahasa formal" untuk tiap ilmu pengetahuan - fisika, biologi, bahkan
psikologi. Kalimat-kalimat ditempatkan pada "uji kebenaran" yang
berdasarkan hukum-hukum usang tentang identitas, kontradiksi dan tanpa-antara.
Dalam kenyataannya, metode dasar yang digunakan masih tetap sama saja.
"Nilai Kebenaran" adalah satu masalah "atau ini ... atau
itu"[1], masalah "Ya atau Tidak", masalah "benar atau
salah". Logika baru ini dirujuk sebagai kalkulus proposional. Tapi kenyataannya
sistem ini bahkan tidak mampu menangani argumen-argumen yang sebelumnya dapat
ditangani oleh silogisme yang paling dasar (kategorikal). Sang Gunung telah
melahirkan seekor tikus.
Kenyataannya adalah bahwa bahkan kalimat sederhanapun tidak dapat dipahami,
sekalipun ia dianggap sebagai "batu penyusun materi" linguistik.
Bahkan penilaian yang paling sederhana, seperti yang ditunjukkan Hegel,
mengandung pula kontradiksi. "Caesar adalah seorang manusia",
"Fido adalah seekor anjing", "pohon itu hijau", semua
menyatakan bahwa yang khusus adalah sama dengan yang umum. Kalimat itu
nampaknya sederhana, sebenarnya tidak. Ini adalah tutup buku bagi logika
formal, yang terus saja berkeras untuk mengabaikan semua kontradiksi, bukan
hanya dari alam dan masyarakat, tapi juga dalam pemikiran dan bahasa itu
sendiri. Kalkulus proposional berangkat dari persis postulat yang sama dengan
yang digunakan oleh Aristoteles di abad ke-4 SM, yaitu, hukum identitas, hukum
(tanpa-) kontradiksi, dan hukum tanpa-antara, yang ditambahi hukum
negasi-ganda. Hukum-hukum ini tidak dituliskan dengan huruf biasa melainkan
dengan simbol sebagai berikut:
a) p = p
b) p = ~ p
c) p V = ~ p
d) ~
Logika Modern
Logika Modern atau Logika Simbolik dikembangkan dari logika
Aristoteles oleh Augustus De Morgan (1806-1971) dan George Boole (1815-1864).
Logika ini membahas argument-argumen yang memungkinkan
sesuatu dapat dimasukkan ke dalam bentuk yang lebih luas daripada hanyabentuk
silogistik. Logika ini juga mengenalkan symbol-simbol untuk kalimat yang
lengkap dan perangkai-perangkai yang akan merangkainya, misalnya “and”, “or”,
“if…then….” dll.
Logika klasik dan logika modern termasuk dalam logika
deduktif, di mana premis-premis dari suatu argument yang valid harus memiliki
kesimpulan, atau kebenaran suatu kesimpulan harus mengikuti premis-premisnya.
Dalam bentuk biasa, semua well-formed sentences di dalam
logika modern memiliki satu nilai saja dari dua nilai berikut, yaitu benar
(true=1) atau salah (false=0).
Logika modern dijadikan dasar pembuatan aljabar Boole yang
dikembangkan oleh George Boole dan menjadi dasar teori tentang pengembangan
komputer digital.
Suatu well-formed sentences akan diformulasikan dalam bentuk
suatu rumus sehingga dinamakan well-formed formulae (wff). WFF berbentuk suatu
ekspresi logika atau bentuk logika yang menggunakan tanda kurung biasa yang
tepat dan sempurna sehingga disebut fully parenthized expression (fpe) dan
setiap pernyataan di dalamnya hanya memiliki satu nilai 0 atau 1.
Logika matematika yang menangani masalah WPF yang hanya
memiliki nilai benar atau salah adalah :
- Logika Proposisional. Fokus
utama logika ini pada pernyataan-pernyataan yang dapat digolongkan dalam
pengertian proposisi-proposisi.
- Logika Predikat.
Pernyataan-pernyataan yang tidak dapat digolongkan sebagai proposisi, dan
tidak dapat diproses dengan logika proposisional akan ditangani logika
predikat yang memfokuskan diri pada predikat yang selalu menyertai suatu
pernyataan dalam bentuk kalimat.
Logika Simbolis
Silogisme menjadi pokok studi logika selama kurang lebih
2000 tahun sebelum dikembangkannya logika simbolis pada akhir abad tujuh belas.
Selama itu, silogisme tak pernah tergantikan peranannya. Seperti namanya,
logika simbolis melibatkan simbol dan manipulasi aljabar dalam logika.
Pernyataan
Semua penalaran logika didasarkan pada pernyataan. Sebuah
pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja.
CONTOH
a. Apple Manufaktur Komputer.
b. Apple Manufaktur Komputer terbaik dunia.
c. Apakah kamu membeli sebuah komputer IBM?
d. Sebuah komputer seharga 2 jt yang memperoleh diskon 20%
berharga 1 jt.
e. Saya berbohong.
PENYELESAIAN
a. Kalimat "Apple Manufaktur Komputer" bernilai
benar, maka, kalimat a merupakan sebuah pernyataan.
b. Kalimat "Apple Manufaktur Komputer terbaik
dunia" adalah sebuah pendapat. Benar bagi sebagian dan tidak untuk
lainnya, karena itu, ini bukan merupakan kalimat.
c. Kalimat "Apakah kamu membeli sebuah komputer
IBM?" adalah pertanyaan. Pertanyaan tersebut bisa benar bisa juga salah,
karenanya, ini bukan suatu pernyataan.
d. Kalimat "Sebuah komputer seharga 2 jt yang
memperoleh diskon 20% berharga 1 jt" adalah kalimat yang salah. Maka, ini
merupakan kalimat pernyataan (25% dari 2 jt adalah 1,5 jt).
e. Kalimat "Saya berbohong." Kalimat ini merupakan
paradox, bila dia benar, maka akan bertentangan dengan apa yang dia katakan.
Bila dia salah, maka yang dikatakan benar, tetapi hal yang dibenarkan
berlawanan dengan apa yang dikatakannya. Karena itu, kalimat ini bukan suatu
pernyataan.
Kalimat majemuk dan kata penghubung logika
Hal yang mudah menentukan kalimat seperti "Anton
mendonorkan darahnya" adalah pernyataan yang bernilai benar atau salah,
cukup dengan memeriksa kenyataan apakah dia melakukannya atau tidak. Tetapi
tidak semua kalimat memiliki bentuk sederhana seperti itu. Perhatikan contoh
kalimat "Anton mendonorkan darahnya dan belum mencuci mobilnya, atau dia
pergi ke perpustakaan". Kalimat tersebut merupakan gabungan
kejadian-kejadian yang bisa terjadi atau tidak pada pengalaman pribadi Anton.
Pernyataan seperti ini dinamakan pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk adalah
pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan yang lebih sederhana. Sebuah
pernyataan majemuk yang paling sederhana dapat dibentuk dengan menyisipkan kata
'not' atau 'tidak' dalam suatu pernyataan sederhana, atau dengan menggabungkan
dua atau lebih kalimat pernyataan sederhana menggunakan kata penghubung logika
seperti dan, atau, jika -- maka --, hanya jika; serta jika dan hanya jika.
Kalimat majemuk 'Anton tidak mencuci mobilnya' berasal dari kalimat yang lebih
sederhana yakni 'Anton mencuci mobilnya'. Kalimat "Anton mendonorkan
darahnya dan tidak mencuci mobilnya, atau dia pergi ke perpustakaan,"
terdiri dari tiga pernyataan, masing-masing dapat bernilai benar atau salah.
Bilamanakah kalimat-kalimat majemuk tersebut bernilai benar?
Sebelum menjawab ini, kita pelajari dahulu bagaimana
kalimat-kalimat sederhana dapat dibentuk menjadi kalimat-kalimat yang lebih
kompleks berdasarkan bagaimana kalimat-kalimat tersebut dihubungkan. Suatu
pernyataan majemuk dapat berupa negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, atau
gabungannya. Seperti apa sajakah mereka? Kita akan membahasnya berikut.
Negasi
Negasi suatu pernyataan merupakan penolakan pernyataan
tersebut. Negasi direpresentasikan menggunakan simbol ~. Negasi sering dibentuk
dengan menambahkan kata 'tidak' pada kalimat asal. Contoh diberikan kalimat
"p:hari ini hujan", negasinya adalah "~p:hari ini tidak
hujan". Bila kalimat asal benar, negasinya bernilai salah, begitu pula
sebaliknya. Nilai kebenaran kalimat negasi selalu bertentangan dengan nilai
kebenaran kalimat asal. Karena nilai kebenaran suatu negasi bergantung pada
kalimat asalnya, negasi suatu kalmat diklasifikasikan sebagai kalimat majemuk.
CONTOH
Tuliskan kalimat yang merepresentasikan negasi dari
masing-masing kalimat berikut: a. Calon legislatif itu dari partai golkar, b.
Calon legislatif itu bukan dari partai golkar. c. Beberapa caleg berasal dari
partai golkar, d. Semua caleg berasal dari partai demokrat, e. Tidak ada
legislatif dari partai hanura.
PENYELESAIAN
a. Negasi dari 'calon legislatif itu dari partai golkar'
adalah 'calon legislatif itu bukan dari partai golkar'.
b. Negasi dari 'calon legislatif itu bukan dari partai
golkar' adalah 'calon legislatif itu dari partai golkar'.
c. Kesalahan sering muncul ketika ditanyakan negasi dari
'beberapa caleg berasal dari partai golkar'. Banyak yang menjawabnya 'beberapa
caleg tidak berasal dari partai golkar'. Pernyataan itu tidak menolak
pernyataan awal. Pernyataan 'beberapa caleg berasal dari partai golkar' memberi
implikasi setidaknya ada satu orang caleg berasal dari partai golkar.
Pernyataan yang menyangkal ini tentu saja 'Tidak ada caleg yang berasal dari
partai golkar'. Pernyataan tersebut merupakan negasi dari pernyataan awal.
d. Negasi dari 'semua caleg berasal dari partai golkar'
adalah 'ada paling sedikit satu caleg yang tidak berasal dari partai golkar',
atau kalimat yang sering digunakan 'beberapa caleg tidak berasal dari partai
golkar'.
e. Negasi 'Tidak ada legislatif dari partai hanura' adalah
'ada paling sedikit satu orang legislatif dari partai hanura'. Bila beberapa
diinterpretasikan paling sedikit satu, kita dapat menggunakan negasi lain yakni
'beberapa legislatif dari partai hanura.
Kata beberapa, semua, dan tidak ada disebut sebagai quantifier,
kuantor. Pernyataan di c sampai e melibatkan kuantor di dalamnya. Negasi
dari 'semua p adalah q' adalah 'beberapa p tidak q'. Begitu pula sebaliknya.
Serta negasi 'beberapa p adalah q' adalah 'tidak ada p adalah q'.
Konjungsi p ^ q
Perhatikan pernyataan 'Abbas adalah anggota PMI dan dia
kader partai golkar'. Ini merupakan kalimat majemuk, karena kalimat ini berasal
dari dua kalimat sederhana - 'Abbas seorang anggota PMI' dan kalimat 'Dia
(Abbas) merupakan kader partai golkar' - dan kata penghubung 'dan'. Kalimat
majemuk seperti ini dinamakan konjungsi. Konjungsi berisi dua atau lebih
pernyataan yang dihubungkan oleh kata hubung dan. Kita gunakan simbol ^ untuk
merepresentasikan kata dan, maka, konjungsi 'p ^ q' merepresentasikan kalimat
majemuk 'p dan q'.
CONTOH
Gunakan representasi simbolis
p : Abbas seorang anggota PMI
q : Abbas merupakan kader partai golkar
Ekspresikan pernyataan majemuk dibawah menggunakan simbol:
a. Abbas seorang anggota PMI dan merupakan kader partai
golkar
b. Abbas seorang anggota PMI dan dia bukan kader partai
golkar
PENYELESAIAN
a. p^q
b. p^~q
Disjungsi
Disjungsi terbentuk ketika beberapa kalimat dihubungkan oleh
kata 'atau'. Simbol yang digunakan oleh disjungsi untuk merepresentasi kata
'atau' adalah v. Jadi, disjungsi menggunakan 'p v q' untuk merepresentasikan
kalimat 'p atau q'. Kita dapat interpretasikan kata 'atau' dengan dua cara.
Perhatikan kalimat berikut:
p : Ahmad merupakan kader PDIP
q : Syu'aib merupakan kader PDIP
Kalimat Ahmad merupakan kader PDIP atau Syu'aib merupakan
kader PDIP dapat disimbolkan dengan p v q. Catat bahwa suatu kemungkinan
keduanya dapat menjadi kader PDIP secara bersama-sama. Dalam contoh ini, kita
membahas tentang 'atau' inklusif. Sekarang perhatikan contoh
p : Ahmad merupakan kader PDIP
q : Ahmad merupakan kader Demokrat
Dalam kenyataan di dunia politik kita, memang sangat mungkin
satu orang mempunyai dua keanggotaan kader. Namun, kita asumsikan masing-masing
orang hanya ingin menjadi kader di satu partai saja. Maka, kedua kejadian
tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Teknisnya, bila kedua kalimat
bernilai benar, maka gabungan disjungsi keduanya salah. Singkatnya satu kalimat
mengexclude kalimat yang lain. Disjungsi ini dinamakan disjungsi
Eksklusif.
Kondisional
Perhatikan kalimat 'Bila sekarang hujan, maka Jalan menjadi
basah'. Kalimat tersebut merupakan kalimat majemuk, karena dibentuk oleh dua
pernyataan, yakni 'Sekarang hujan' dan 'jalan menjadi basah'. Perhatikan bahwa
kedua kalimat tersebut dihubungkan oleh kalimat penghubung 'Bila -- Maka --'.
Sebarang kalimat yang berbentuk 'Bila p maka q' dinamakan suatu kondisional
(atau implikasi); p dinamakan hipotesis kondisional, sedang q disebut konklusi
suatu kondisional. Kondisional 'jika p maka q', (anggap bila sama dengan jika),
disimbolkan menjadi p
q (p mengimplikasi
q). Dalam kehidupan sehari-hari, kata maka dalam kondisional sering tak
disebutkan. Misal, bila sekarang hujan, jalan menjadi basah. Cara lain untuk
menuliskan kondisional adalah q jika p (jalan menjadi basah bila sekarang
hujan).
CONTOH
Menggunakan representasi simbolis
p : Saya sehat
q : Saya memakan makanan cepat saji.
r : Saya berolahraga secara teratur.
Ekspresikan kalimat dibawah dalam representasi simbolils.
a. Saya sehat bila berolahraga secara teratur.
b. Jika saya hanya memakan makanan cepat saji dan tidak
berolahraga secara teratur, saya kurang sehat.
PENYELESAIAN
a. Saya sehat bila berolahraga secara teratur adalah kalimat
kondisional 'jika -- maka --' dan dapat direpresentasikan ulang menjadi
'jika berolahraga secara teratur, saya
sehat'
maka, kalimat majemuk ini
direpresentasikan secara simbolis dengan r
p
b. Jika saya hanya memakan makanan cepat saji dan tidak
berolah raga secara teratur, saya kurang sehat. Kalimat ini kondisional 'jika
-- maka --', namun melibatkan konsungsi dan dua negasi di dalamnya.
Representasi secara simbolis kalimat di atas adalah (q ^ ~p)
r.
CONTOH
Ekspresikan kalimat 'Semua manusia pasti mati'
PENYELESAIAN
Kalimat 'Semua manusia pasti mati' dapat dinotasikan ulang
Jika dia manusia, pasti mati. Maka, kita definisikan dua kalimat simbolis:
p : Sesuatu merupakan manusia
q : Manusia pasti mati
Kalimat tersebut dapat diekspresikan p -> q. Secara umum,
kalimat 'semua p maka q' dapat di ekspresikan p -> q
Kita telah membahas bagaimana pernyataan-pernyataan majemuk
terbentuk, berikutnya kita dapat memberikan analisis nilai kebenarannya.
|
Pernyataan majemuk
|
Simbol
|
Pembacaan
|
|
Negasi
|
~
|
not
|
|
Konjungsi
|
^
|
dan
|
|
Disjungsi
|
v
|
atau
|
|
kondisional/implikasi
|
|
jika -- maka --
|
Logika Simbolik
Logika adalah suatu metode atau teknik yang dicipitakan
untuk meneliti ketepatan penalaran.
A. Kalimat
Kalimat terbagi atas 2 macam, yaitu :
a.Kalimat tidak berarti (secara gramatikal tidak mempunyai arti)
Contoh :
• Soplo jatuh cinta pada tembok
• Tince habis dibagi 5
b.Kalimat yang mempunyai arti
Contoh :
• Sentun adalah mahasiswa STKIP prodi matematika
• Lima adalah bilangan prima
B. Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai Benar atau Salah saja, tetapi
tidak sekaligus keduanya.
Nilai kebenaran suatu pernyataan bergantung kepada kebenaran atau
ketidakbenaran dari realitas yang dinyatakannya.
Contoh :
• 8 habis dibagi 2 (benar)
• 9 adalah kelipatan 4 (salah)
• SBY adalah Presiden RI (benar)
• Jakarta adalah ibukota RI (benar)
C. Semesta Pembicaraan
Semesta Pembicaraan adalah himpunan semua objek yang sedang dibicarakan.
D. Variable
Variable adalah lambang yang dipakai untuk menunjukkan anggota semesta
pembicaraan yang belum tentu
E. Konstanta
Konstanta adalah lambang yang dipakai untuk menunjukkan anggota semesta
pembicaraan yang sudah tentu.
Konstanta tidak harus berupa bilangan. Semua tergantung pada Semesta
Pembicaraan.
Contoh :
SP = {Mahasiswa STKIP PGRI Lumajang}
Soplo adalah mahasiswa STKIP PGRI Lumajang yang rumahnya di Selok Awar - awar.
Dalam contoh tersebut, konstantanya adalah Soplo
F. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat 1 atau lebih variabel yang apabila
variabel terssebut diganti dengan anggota semesta pembicaraan, maka kalimat
tersebut berubah menjadi pernyataan.
Contoh :
• 3x - 5 = 6
• 3x + 8 > 12
• 2x + y = 20
• 2x + 3y < 20
G. Himpunan Penyelesaian
Himpunan penyelesaian adalah himpunan dari anggota - anggota Semesta
Pembicaraan yang apabila disubstitusikan pada variabel kalimat terbuka, maka
kalimat terbuka tersebut berubah menjadi pernyataan benar.
H. Kuantor
Pernyataan berkuantor adalah suatu kalimat yang variabelnya mengandung suatu
ukuran jumlah tertentu.
Kuantor terbagi atas 2 macam, yaitu :
a. Kuantor Universal
b. Kuantor Eksistensial
